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社會統(tǒng)計學Social Statistics 第一章　緒論 一、統(tǒng)計分析方法應用水平是社會學研究科學性的重要標志 保爾·拉法格在《憶馬克思》中談到，馬克思認為：“一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才算達到了真正完善的地步。” 二、統(tǒng)計分析方法應用的目的是要發(fā)現(xiàn)和描述社會現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律 （一）社會調(diào)查資料的特點 1、隨機性 客觀現(xiàn)象可分為確定性現(xiàn)象和非確定性現(xiàn)象（隨機現(xiàn)象） 2、統(tǒng)計規(guī)律性： 通過對大量個體特征的統(tǒng)計分析來描述和分析社會現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律。 （二）統(tǒng)計學是發(fā)現(xiàn)和彰顯統(tǒng)計規(guī)律的有效工具 三、統(tǒng)計學在社會學研究中的地位 社會調(diào)查從研究的范圍來分類可以分為全面調(diào)查與非全面調(diào)查，抽樣調(diào)查是非全面調(diào)查的重要方式。 一、總體、個體與樣本 （一）總體（ population ）與個體（ case ） 總體是研究對象的全體。 個體也稱個案，是構(gòu)成總體的最小單位，是具體調(diào)查分析對象。 （二）樣本（Sample） 是從總體中抽出的用于實施調(diào)查研究的對象集合。 二、抽樣方法與統(tǒng)計分析方法的選擇 應用隨機原則獲得的樣本稱為隨機樣本，否則是非隨機樣本。 社會統(tǒng)計學的內(nèi)容可分為兩大部分：描述統(tǒng)計與推論統(tǒng)計。 全面調(diào)查，只使用描述統(tǒng)計即可。 應用推論統(tǒng)計的必要前提是樣本必須是隨機樣本。 一、變量的層次 按照變量的取值特征和統(tǒng)計分析時方法應用的特征，變量的層次可以劃分為類別變量和尺度變量等兩大類。 （一）類別變量 1、無序類別變量（ Nominal Variable ） 也稱為定類變量，是測量層次最低的變量。如職業(yè)、家庭類型、婚姻狀況、專業(yè)、人際關(guān)系類型、地區(qū)類別等等。 2、有序類別變量（ Ordinal Variable ） 也稱為定序變量或序列變量。如職稱、職務(wù)級別、學生的年級等等。如用1、2、3、4、5、6、7分別表示文盲、小學、初中、高中、大專、大學、研究生。 （二）尺度變量（Scale Variable） 若測量工具有單位，則測量結(jié)果就不僅能夠比較大小，而且能夠比較出大多少或小多少。此種測量就是尺度測量，得到的變量就是尺度變量。尺度變量根據(jù)測量工具是否具有絕對零分為定距變量和定比變量。 1、定距變量 無絕對零，若存在零，則這個零是個相對零。如使用攝氏溫度計測量的溫度便是定距變量。 2、定比變量 定比測量是最高層次的測量，它不僅有相等的單位可以比較被測事物間的數(shù)量差異。而且有了絕對0，這樣就可以對被測事物間的倍數(shù)進行比較。在社會學研究中，常用的有年齡、收入、住房面積等等屬于定比變量。 （三）不同層次變量的功能及轉(zhuǎn)換 由于對某一事物進行測量時可以使用不同層次的測量工具，因此對同一事物進行測量可能出現(xiàn)多種測量結(jié)果。 設(shè)計問卷時，要盡可能多地設(shè)計測量層次高的變量。 二、變量層次與統(tǒng)計分析方法的選擇 （一）不同層次單變量統(tǒng)計分析方法的選擇 對于類別變量，可以使用頻次分布表、條形圖、圓形圖、線形圖等來描述變量的分布狀態(tài)；可以用眾數(shù)和異眾比率描述其集中趨勢和離散趨勢。對于有序類別變量，還可以用中位數(shù)和四分位差或全距描述其集中趨勢和離散趨勢。對于尺度變量，可以使用頻次分布表、直方圖、線形圖等來描述變量的分布狀態(tài)，用算術(shù)平均數(shù)和方差或標準差描述變量的集中趨勢和離散趨勢。 （二）不同層次兩個變量關(guān)系的統(tǒng)計分析方法的選擇 分析兩個變量間的關(guān)系：明確兩個變量是否有關(guān)系。如果有關(guān)系，相關(guān)的強度如何？相關(guān)的方向怎樣等等。 兩個變量的測量層次不同，應用的統(tǒng)計分析方法也不同。 1-1 結(jié)合社會學研究的過程談?wù)劷y(tǒng)計學在其中所起的作用是什么？ 1-2 社會調(diào)查資料具有哪些特點？ 1-3 解釋總體、個體、樣本這幾個概念。 1-4 變量可以分為哪些類型？ 1-5 類別變量與尺度變量的區(qū)別是什么？ 1-6 簡要陳述不同層次變量的功能。 1-7 舉例說明統(tǒng)計學在社會學研究中的應用。 第二章　單變量的描述統(tǒng)計分析 單變量的描述統(tǒng)計就是用統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖和統(tǒng)計特征值將變量的狀態(tài)、水平和分布特征表現(xiàn)出來的方法。 一、變量及其分布 （一）變量的特征 1、變量的含義： 研究對象的每個個體都具有很多屬性和特征。比如每個人都有身高、體重、年齡、學歷等特征。這些在不同個體上具有不同表現(xiàn)的特征就稱為變量。統(tǒng)計學中的變量在個體上是相對穩(wěn)定的，在不同個體上表現(xiàn)出變化。這類變量也稱為隨機變量。 2、變量取值的兩個特征 完備性。完備性是指變量的取值必須涵蓋全部的個案。 互斥性。互斥性是指變量的取值之間不能互相包容。 一、變量及其分布 （二）變量的分布 變量分布指個體在變量取值上的分布。對一組觀察值，一般用頻次分布、頻率分布和累積頻率分布三種方法描述變量分布。 1、頻次分布：變量取值與取值上擁有的個體數(shù)的集合稱為頻次分布。若變量有m個取值，則該變量的頻次分布可表示為： 一、變量及其分布 （二）變量的分布 2、頻率分布：變量取值與取值上擁有的個體數(shù)的頻率的集合稱為頻率分布。將頻率分布的頻率乘以100%，即是百分比。頻率分布可以表示為： 一、變量及其分布 （二）變量的分布 3、累計頻率分布：將上述頻率分布中的頻率按變量的取值排列順序逐項累加就形成累積頻率分布。分布可以表示為： 一、變量及其分布 （二）變量的分布 關(guān)于頻次分布、頻率分布和累計頻率分布的總結(jié) 可以清楚地表現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征和統(tǒng)計規(guī)律，但只適用于類別變量。例如文化程度、職業(yè)、職稱等。 對取值很多的尺度變量，通常將變量的取值劃分成段，如年齡段、收入段，再累計該段中的人數(shù)，來表示變量的分布。 尺度變量取值的數(shù)據(jù)有兩種： 離散性數(shù)據(jù)，如年齡。通常取整數(shù)，在相鄰的兩個數(shù)之間不存在其它的數(shù)據(jù)。 連續(xù)性數(shù)據(jù)，如身高。如果測量的單位可以達到無窮小的話，理論上，任何兩個數(shù)之間都有無窮多個數(shù)。尺度變量的分布在統(tǒng)計表中予以詳細說明。 二、統(tǒng)計表 表現(xiàn)數(shù)據(jù)分布的最常用方法是統(tǒng)計表。將數(shù)據(jù)按照一定的順序排列在由橫行、縱列交叉結(jié)合而成的表格上。 （一）統(tǒng)計表的結(jié)構(gòu) 統(tǒng)計表可分為橫表與豎表，應用較多的是豎表（教材表2-1）。 （二）描述類別變量分布特征的統(tǒng)計表——簡單表 簡單表：主詞按變量的取值一一列出，適用于表現(xiàn)類別變量的分布。主詞是類別變量的取值，賓詞是各個取值出現(xiàn)的頻次、頻率或百分比及累計頻率或累計百分比等。 （教材表2-2）。 二、統(tǒng)計表 （三）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計表——分組表 1、分組表的特點：尺度變量取值很多，可以采用分組表來表現(xiàn)尺度變量的分布特征。分組表的主詞是將變量的取值按一定的標準分組或分段的統(tǒng)計表。主詞中每個組的最大值稱為組上限，最小值稱為組下限 。（教材表2-3） 二、統(tǒng)計表 （三）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計表——分組表 1、分組表的制作步驟： （1）確定全距。全距就是變量觀察值的最大值與最小值之差。 （2）確定組距與組數(shù)。一般是2、3、5、10或它們的倍數(shù)。 （3）確定各組的上下限。最低組的下限要小于最小的觀察值，最高組的上限要大于最大的觀察值。連續(xù)型數(shù)據(jù)的一組的下限與下一組的上限為同一值，習慣上以組的上限為實，下限為虛。（即“下組限不包括在內(nèi)”的原則） （4）登記各組中個案的頻次，計算頻率。將個案按照變量取值大小劃分到各組中，按需要統(tǒng)計出頻次、頻率及累計頻率等，并將統(tǒng)計出的數(shù)據(jù)置于相應單元格內(nèi)，繪制成分組表。 二、統(tǒng)計表 （三）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計表——分組表 1、分組表的制作步驟：確定全距;確定組距與組數(shù);確定各組的上下限。;登記各組中個案的頻次，計算頻率。 二、統(tǒng)計圖 統(tǒng)計圖就是用圖的形式來表示變量的分布特征。 比統(tǒng)計表更直觀、生動、易記憶，缺點是不如統(tǒng)計表精確。 變量的測量層次不同，使用的圖形也不盡相同。 不同類型的圖形表示數(shù)據(jù)大小的方式不同。 用圖形表現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布特征時有一定的規(guī)范和要求。每個圖的左下方都要有圖的編號，圖的正下方要有圖的名稱，用以簡明扼要地說明圖的內(nèi)容。如有其它的說明可以在圖的下面寫出圖注。如果圖中有多種繪圖元素，可以用圖例的形式予以說明。 二、統(tǒng)計圖 （一）描述類別變量分布特征的統(tǒng)計圖 1、簡單條形圖： 條形的長短或高低來表示數(shù)據(jù)大小。以類別變量的取值為橫軸的分類標志，以縱軸表示頻次或頻率。 （教材圖2-1） 二、統(tǒng)計圖 （一）描述類別變量分布特征的統(tǒng)計圖 2、圓形圖：也稱餅圖。一般用于描述類別變量中各類別所占的比例。是以一個圓為整體，以每一部分所占的比例來分割圓心角，圓心角所對應的扇形即表示每一部分所占的比例。 二、統(tǒng)計圖 （一）描述類別變量分布特征的統(tǒng)計圖 3、線形圖：線形圖是在坐標系內(nèi)用折線或連續(xù)曲線表示事物的分布或變化的圖。 二、統(tǒng)計圖 （二）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計圖 1、直方圖： 描述尺度變量分布，用條形長短或高低來表現(xiàn)數(shù)據(jù)大小。 與簡單條形圖不同的是，條的寬度表示分組的組距，條與條之間不分離。 直方圖以尺度變量為橫軸，以分組的組限為橫軸的數(shù)據(jù)標志，以縱軸表示頻次或頻率。 分組表的數(shù)據(jù)就可以用直方圖來表示。 用表2-4的頻率分布數(shù)據(jù)制作的直方圖如圖2-4所示。 簡單條形圖 用于描述類別變量的分布 直方圖 用于描述尺度變量的分布 二、統(tǒng)計圖 （二）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計圖 2、累積頻率直方圖：以尺度變量為橫軸，以分組的組限為橫軸的數(shù)據(jù)標志，以縱軸表示累積頻率，制作的直方圖就是累積頻率直方圖。用表2-4的累積頻率分布數(shù)據(jù)制作的累積頻率直方圖如圖2-6所示。 二、統(tǒng)計圖 （二）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計圖 3、線形圖：將直方圖或累計頻率直方圖每條頂部的中點用直線連接即構(gòu)成描述尺度變量分布的線形圖。 （二）描述尺度變量分布特征的統(tǒng)計圖 4、點狀分布圖：直方圖雖能較好表現(xiàn)尺度變量的分布特征。但它通過分組將尺度變量轉(zhuǎn)化成了順序變量，組內(nèi)數(shù)據(jù)值無法表現(xiàn)。若數(shù)據(jù)量足夠大，可用點狀分布圖來詳細地表現(xiàn)變量的分布特征。點狀分布圖以尺度變量為橫軸，用點的累積表現(xiàn)變量取值上的個體數(shù)。 用圖和表的形式雖然能夠很好地表現(xiàn)變量的分布狀況，但是不夠簡潔，尤其是將不同的總體或樣本進行比較時，使用表或圖難以得出清晰的結(jié)論。 很多情況下，我們不需要對所有的數(shù)據(jù)都有詳盡的了解。在對不同總體進行比較時，也不可能一一地使用每一個數(shù)據(jù)，這就需要對變量的全部取值進行概括，找出一個典型的統(tǒng)計特征值來代表全體數(shù)據(jù)。 集中趨勢（和離散趨勢）就是概括地說明變量的狀態(tài)或水平的統(tǒng)計特征值。由于測量層次不同，變量取值的數(shù)據(jù)特征不同，用于概括變量狀態(tài)的集中趨勢也不同。 常用的集中趨勢統(tǒng)計量：眾數(shù)；中位數(shù)；算數(shù)平均數(shù)。 常用的離散趨勢統(tǒng)計量：異眾比率；極差（全距）；四分位差；方差與標準差。 一、眾數(shù)M0 眾數(shù)（mode）根據(jù)頻次來確定的集中趨勢量值。在一個變量的取值中，出現(xiàn)頻次最多的變量值就是眾數(shù)。 表2-1中，“初中”是我國家庭戶主文化程度的眾數(shù)。 一、眾數(shù)M0 關(guān)于眾數(shù)的幾點注意事項 （1）眾數(shù)適用于任何層次的變量，只要是知道了頻次分布就可以找到眾數(shù)。但主要用于概括和描述類別變量。 （2）對于分組的尺度變量，出現(xiàn)頻次最高的組稱為眾數(shù)組，可以用眾數(shù)組的組中值（組上限和組下限的平均值 ）近似地代替眾數(shù)。分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以精確計算 (可進一步參見李金昌、蘇為華，《統(tǒng)計學》，機械工業(yè)出版社，2007年2月出版，72頁)。但計算出來的眾數(shù)只是理論眾數(shù)，并非實際上取值最多的數(shù)據(jù)。） （3）眾數(shù)較適用于單峰分布的情況。多峰分布的眾數(shù)可能不唯一，所以通常不使用眾數(shù)來概括變量分布的狀態(tài)。 二、中位數(shù)Md 中位數(shù)（median）是位于數(shù)列中點的數(shù)值，它恰好把全部數(shù)據(jù)分為兩半，比它大的數(shù)據(jù)個數(shù)與比它小的數(shù)據(jù)個數(shù)正好相等。 因為確定中位數(shù)需要比較數(shù)據(jù)的大小，因此定序以上的變量才可以使用。 但如果一個序列變量的取值很少，也不適合用中位數(shù)作為集中趨勢來概括全部數(shù)據(jù)。 實際上，中位數(shù)適用于取值很多的序列變量和尺度變量。 二、中位數(shù)Md （一）未分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算 對于原始的數(shù)據(jù)，只要將數(shù)據(jù)按大小順序排成數(shù)列即可以找到中位數(shù)。 二、中位數(shù)Md （二）分組數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算 在分組數(shù)據(jù)中，因為沒有了數(shù)據(jù)的原始值，無法直接尋找中位數(shù)，需要先找到中位數(shù)組，第N/2 個數(shù)據(jù)所在的組為中位數(shù)組。確定中位數(shù)組以后利用式（2-2）計算中位數(shù)： 分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)計算舉例 三、算數(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均值簡稱平均值，是全部數(shù)據(jù)的平均水平。算術(shù)平均值主要適用于尺度變量。 （一）未分組數(shù)據(jù)算數(shù)平均值的計算 1、根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算 對于變量的一組觀察值，可以用原始數(shù)據(jù)來直接計算算數(shù)平均值。計算公式為： 三、算數(shù)平均數(shù) （一）未分組數(shù)據(jù)算數(shù)平均值的計算 1、根據(jù)原始數(shù)據(jù)計算 三、算數(shù)平均數(shù) （一）未分組數(shù)據(jù)算數(shù)平均值的計算 2、根據(jù)頻次數(shù)據(jù)計算 三、算數(shù)平均數(shù) （二）分組數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù)計算 如果數(shù)據(jù)存在于分組表中，則以組中值來代替原始值計算分組數(shù)據(jù)的平均值。設(shè)數(shù)據(jù)被分為k組，每組的組中值（ 組上限和組下限的平均值）為bi ，每組的頻次為ni 。則分組數(shù)據(jù)的平均值的計算公式為： 四、眾數(shù)、中位數(shù)和平均值的比較 （二）分組數(shù)據(jù)的算數(shù)平均數(shù)計算 僅描述觀察值的集中趨勢遠遠不夠，還需要找到一些表示數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計特征值。 主要原因有二： 原因1：變量的取值范圍不同，集中趨勢的代表性不同。 例如： 中國職工年平均工資， 1978年為615元，2009年則是29229元。 1978年職工年工資的分布是在216元到3600元之間。 2009年職工年工資的分布是在6900元到數(shù)萬元之間。 因此，有理由認為： 1978年的615元對當年職工工資總體的代表性高于2009年的29229元。 僅描述觀察值的集中趨勢遠遠不夠，主要原因有二： 原因1：變量的取值范圍不同，集中趨勢的代表性不同。 原因2：變量取值范圍即便相同，但變量分布特征不同時，集中趨勢的代表性也不同。 例如：兩個班級的數(shù)學成績均值均為82.64分。變量值的分布范圍均為從60分到100分（取值分布見教材圖20-10）。 一、異眾比率 （一）含義：非眾數(shù)在數(shù)據(jù)總數(shù)N中所占的比例。 二、極差（全距） （一）含義：極差是變量取值的范圍。極差一般用R（Range）來表示。 R=最大值—最小值 三、四分位差 （一）含義：對于定序以上變量，將數(shù)據(jù)按大小排成數(shù)列以后，從下向上數(shù)第25%的數(shù)據(jù)所在位置的值稱為下四分位數(shù)，用Q25表示。從下向上數(shù)第75%的數(shù)據(jù)所在位置的值稱為上四分位數(shù)，用Q75表示。上下四分位數(shù)之差即為四分位差，一般用Q（quartiles）來表示。 Q = Q75 - Q25 式（2-7） 三、四分位差 （三）未分組數(shù)據(jù)四分位差的計算： 計算四分位差要先計算上下四分位數(shù)，為此，需要先確定上下兩個四分位數(shù)的位置，找到兩個分位值后相減即得四分位差。根據(jù)四分位數(shù)的定義可得： 【例2-6】一組數(shù)據(jù)是某單位49名職工的住房面積。計算住房面積分布的四分位差。 某單位職工的住房面積（單位：平方米） 33、42、42、48、48、52、55、58、62、65、65、65、66、66、66、66、68、68、68、68、68、70、70、70、72、72、72、72、75、75、75、76、76、78、85、87、90、92、95、98、103、109、110、112、118、125、130、178、179 解： n=49 Q25 的位置=n/4=49/4=12.25，第12.25個數(shù)據(jù)兩側(cè)的數(shù)據(jù)是65和66。因此，下四分位數(shù)為： Q25 =65+0.25（66-65）=65.25 同理，Q75 的位置=3n/4=3*49/4=36.75 ，第36.75個數(shù)據(jù)兩側(cè)的數(shù)據(jù)是87和90。因此，上四分位數(shù)為：Q75=87+0.75（90-87）=89.25 因此，四分位差為： Q=Q75-Q25 =89.25-65.25=25 即:員工住房使用面積中間50%的數(shù)據(jù)的離散范圍為25平方米。 四、方差與標準差 極差和四分位差能較好地表明數(shù)據(jù)離散情況，但只給出了數(shù)據(jù)的分布范圍，只利用了數(shù)據(jù)的部分信息。極差和四分位差相等的兩組數(shù)據(jù)其分布情況可能差異很大。對于尺度變量概括其離散程度最好的特征值是方差和標準差。 （一）平均差 1、離差：變量的一個觀察值與變量平均值之間的差。 四、方差與標準差 （二）方差、標準差 方差和標準差是用平方的方法消除了離差中的絕對值后形成的統(tǒng)計特征值。方差是離差平方的平均值，標準差是方差的平方根。 四、方差與標準差 （二）方差、標準差 1、用原始數(shù)據(jù)計算方差、標準差 直接使用式（2-13）和（2-14）。 【例2-8】 五名學生數(shù)學成績分別為72、81、86、69、57，計算這五名學生數(shù)學成績分布的方差和標準差。 四、方差與標準差 （二）方差、標準差 2、用頻次分布數(shù)據(jù)計算方差和標準差 設(shè)變量有k個取值，每個取值出現(xiàn)的頻次為ni，則利用頻次分布數(shù)據(jù)計算方差和標準差的公式為： 四、方差與標準差 （二）方差、標準差 3、用分組數(shù)據(jù)計算方差和標準差 用每一組的組中值來代替該組的變量值計算方差和標準差，用分組數(shù)據(jù)計算方差和標準差的公式為： 參見教材習題2-1到2-8。 第三章　兩個類別變量關(guān)系的描述統(tǒng)計 社會學研究中不僅要對單個變量的分布進行描述，更多的是要分析變量之間的關(guān)系。比如，分析性別與體育愛好的關(guān)系、職業(yè)與政治參與的關(guān)系、文化程度與生育子女數(shù)量的關(guān)系、收入與住房面積的關(guān)系等等。 對測量層次不同的變量之間的關(guān)系，其分析方法也不同。 分析兩個類別變量的關(guān)系，如性別與職業(yè)的關(guān)系、性別與文化程度的關(guān)系、文化程度與生活滿意度之間的關(guān)系等等，可采用三種方法： 交叉列表：從兩個變量的交叉分布來分析兩者關(guān)系。 分類圖：直觀地表現(xiàn)變量間的關(guān)系。 相關(guān)系數(shù)：精確地描述變量之間關(guān)系的強度。 一、兩個類別變量相關(guān)的概念 如果有兩個類別變量，在一個變量取不同類別時，另一個變量的分布有顯著差異。則認為兩個類別變量相關(guān)。如果一個變量取不同類別時，另一個變量的分布沒有顯著差異，就認為這兩個變量不相關(guān)。 兩個類別變量之間的關(guān)系要通過兩個變量的交叉分布來描述。這種分析方法稱為交叉列表分析，構(gòu)成的表格稱為交叉表或列聯(lián)表。兩個類別變量之間的相關(guān)也稱為列聯(lián)相關(guān)。 二、列聯(lián)表的結(jié)構(gòu) 列聯(lián)表也是統(tǒng)計表的一種，它與簡單表和分組表不同的是，在一個表中表現(xiàn)了兩個不同變量的分布，因此也被稱為復合表。 表的主詞和表頭分別是兩個變量的取值。表身中單元格的數(shù)據(jù)是兩個變量交叉后的頻次或頻率分布。 三、列聯(lián)表的種類 設(shè) x與y是兩個類別變量， x分為x1， x2…xr共r 類，y分為y1， y2…yc共c 類，數(shù)據(jù)總個數(shù)為n 。 根據(jù)列聯(lián)表中單元格數(shù)據(jù)的不同，列聯(lián)表可分為頻次分布的列聯(lián)表和頻率分布的列聯(lián)表。 三、列聯(lián)表的種類 （一）頻次分布的列聯(lián)表 三、列聯(lián)表的種類 （一）頻率分布的列聯(lián)表 四、列聯(lián)表中的分布 （一）聯(lián)合分布：即列聯(lián)表中間部分的數(shù)據(jù) nij或 pij，它們都是由兩個變量共同決定的。 （二）邊緣分布：列聯(lián)表中最下面一行nj或 pj是變量y的分布，最右面一列ni或pi是變量x的分布。 （三）條件分布： 如果將一個變量取固定值，另一個變量的分布就是條件分布。 使用條件分布的目的是要看當一個變量取不同類別時另一個變量的分布是否有差異。這種差異通過頻次分布難以表現(xiàn)，所以條件分布大都是采用頻率分布。 用單元格的頻次除以對應列的總頻次，即nij/nj構(gòu)成的分布稱為關(guān)于x的條件分布，也就是當y取固定值時x的分布。 同理， nij/ni*構(gòu)成的分布稱為關(guān)于y條件分布。 五、列聯(lián)表中變量的相互獨立性 在列聯(lián)表中，可以通過比較條件分布來研究類別變量之間的關(guān)系。當一個變量取不同類別時，另一個變量的分布有差異，即說明兩個變量是相關(guān)的。 從頻率分布看，兩個變量相互獨立的表現(xiàn)形式是條件分布等于邊緣分布。（推導見教材式3-1到3-4） 一、分類條形圖 以一個變量的取值作為橫軸的標記，用另一個變量的取值來分類。以不同標志點上分類變量的頻次或頻率作為條的長度繪制條形圖。 如果在每個標志點上分類變量各個條長基本相等，則說明兩個變量基本不相關(guān)。 二、分類圓形圖 描述變量各取值上的個案數(shù)在總數(shù)中所占的比例。 多個圓形可以分開畫，也可以從大到小疊在一起。 如果在不同的圓形中各個扇形所占的比例基本相同，就可以認為兩個變量不相關(guān)。 三、多線圖 在坐標系內(nèi)繪制分類變量取不同值時，另一個變量分布的多條折線。 如果這些折線基本重合，或者相差不大，則認為兩個變量不相關(guān)。 圖表法只能粗略說明兩個變量間是否相關(guān)，為精確度量變量之間關(guān)系的強度和方向，統(tǒng)計學家根據(jù)不同測量層次的變量建構(gòu)了一系列的統(tǒng)計指標，這就是相關(guān)系數(shù)。 兩個無序類別變量之間的關(guān)系可以用列聯(lián)相關(guān)系數(shù)來描述。在多年的統(tǒng)計實踐過程中，統(tǒng)計學家建構(gòu)了多個列聯(lián)相關(guān)系數(shù)。概括起來，基于兩種方法，一是基于消減誤差比例的方法來建構(gòu)，二是基于卡方值來建構(gòu)。后者將在卡方檢驗中予以介紹，本節(jié)只介紹基于消減誤差比例的方法建構(gòu)的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)。 列聯(lián)相關(guān)系數(shù)是描述兩個類別變量關(guān)系的特征值。由于有更好的特征值來描述兩個有序類別變量之間的關(guān)系強度。因此，列聯(lián)相關(guān)系數(shù)主要用于描述兩個無序類別變量，或是一個無序類別變量與一個有序類別變量之間的關(guān)系。 一、消減誤差比例的統(tǒng)計思想 （一）引例 比如有4名學生，某次考試成績的平均分是80分。如果猜測每名學生的考分，唯一可以參考的信息就是平均成績。只能猜測每人都得80分。實際上，這4名學生的成績是90、85、75、70。猜測所產(chǎn)生的總誤差是： 一、消減誤差比例的統(tǒng)計思想 （一）引例 知道性別與考試分數(shù)之間的關(guān)系后，預測減少的誤差比例是： 一、消減誤差比例的統(tǒng)計思想 （二）消減誤差比例的一般思想 在沒有任何可參考的信息下猜測一個事物時會有很大的盲目性，而借助一個與被猜測的事物有關(guān)的事物來進行猜測，就會減少盲目性，提高猜測的準確性。 如果兩個變量相關(guān)，借助一個變量去猜測另一個變量時會消減掉猜測誤差。消減掉的誤差大，說明兩個變量之間的密切程度高。消減掉的誤差小，說明兩個變量之間的密切程度低。 這樣，消減掉誤差的大小就可以成為測量兩個變量之間關(guān)系密切程度的指標。 一、消減誤差比例的統(tǒng)計思想 （三）消減誤差比例的計算公式 設(shè)有兩個變量x和y，觀察的個案數(shù)為n。 直接猜測每個個體在y變量上的取值，是一種盲目猜測，必然產(chǎn)生誤差。猜測n個個案所產(chǎn)生的總誤差為E1。 如果每個個體在x變量上的取值是已知的，可以借助個體在x變量上的取值來猜測其在y變量上的取值，此時所產(chǎn)生的總誤差為E2 。消減誤差比例（Percent reduce error）為： 二、 λ系數(shù) λ系數(shù)就是基于消減誤差比例的思想建構(gòu)的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)。利用PRE原理計算相關(guān)系數(shù)的關(guān)鍵是如何確定 E1和E2 。 （一）引例 在某城市社區(qū)隨機抽取了60歲以上的老年人，男、女各100人。他們是否愿意去老年公寓養(yǎng)老的態(tài)度分布如表3-10所示。從表3-10中可以看出老年人是否愿意去老年公寓養(yǎng)老的態(tài)度與性別是相關(guān)的。要計算這兩個變量的相關(guān)系數(shù)要先定義E1和E2。 二、 λ系數(shù) （一）引例 二、 λ系數(shù) （二）λ系數(shù)的計算公式 假設(shè)只知道類別變量x的分布，即y的邊緣分布已知。要猜測每個個案y的取值，唯一可參考的就是變量y的分布。此時用眾數(shù)來猜測所有個案要比用其它值來猜測產(chǎn)生的誤差小。 設(shè)y變量眾數(shù)的頻次為max(n*j) ，猜測誤差E1為： E1 = n - max(n*j) （3-6） 假設(shè)已知道x與y有關(guān)，就可以根據(jù) x取不同值時y分布的眾數(shù)來猜測每個個案的 y。即根據(jù)條件分布的眾數(shù)來猜測y。 設(shè)每一行的眾數(shù)分別為max(n1j) 、 max(n2j) … max(nrj)，r=1，…c，猜測誤差E2為： 二、 λ系數(shù) （二）λ系數(shù)的計算公式 E1 = n - max(n*j 二、 λ系數(shù) （三）λ系數(shù)的幾個注意事項 1、λ系數(shù)的取值范圍是0到1。 2、λ系數(shù)具有不對稱性，借助y來猜測x時，定義的E1、E2 是不同的，此時公式為： 二、 λ系數(shù) （三）λ系數(shù)的幾個注意事項 3、如果兩個變量之間具有明確意義上的因果關(guān)系，習慣上將 設(shè)為自變量，將 設(shè)為因變量。當兩個變量之間的因果關(guān)系不太明確的情況下可以計算λy 和λx 的加權(quán)平均數(shù)來作為兩個變量的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)。計算方法如下： 二、 λ系數(shù) （四）λ系數(shù)的算例： 【例3-2】計算表3-1中殘疾人的文化程度與性別的 λ系數(shù)。 三、 Goodman-Kruskal Tau（古德曼-克魯斯卡爾 ）系數(shù) λ系數(shù)的E1、E2 的定義簡潔、明確，計算簡單，有較多的應用。其缺點是只使用了各行或各列的眾數(shù)，沒有充分利用數(shù)據(jù)的信息。 系數(shù)也是基于消減誤差比例的思想建構(gòu)的列聯(lián)相關(guān)系數(shù)，但是對于E1、E2的定義與λ系數(shù)有所不同。 （一）引例 以表3-10中不同性別老年人對去公寓養(yǎng)老的態(tài)度為例，說明 系數(shù)計算中 E1、E2 的定義方法。 三、 Goodman-Kruskal Tau（古德曼-克魯斯卡爾 ）系數(shù) （二） 系數(shù)的計算公式 三、 Goodman-Kruskal Tau（古德曼-克魯斯卡爾 ）系數(shù) （三） 系數(shù)的算例 【例3-4】計算表3-1中殘疾人文化程度與性別的 系數(shù)。 一、等級相關(guān)的概念 （一）含義： 等級相關(guān)指的是兩個有序類別變量之間的相關(guān)。如果有兩個有序類別變量，在一個變量取不同等級時，另一個變量的分布有較大差異，則認為兩個有序類別變量存在等級相關(guān)。 （二）適用條件： 用于刻畫兩個有序類別變量的關(guān)系。兩個有序類別變量之間的關(guān)系，盡管也可以用分類條形圖、分類圓形圖和多線圖進行描述，但變量間的關(guān)系強度則需要用等級相關(guān)系數(shù)來描述。 由于有序類別變量的取值具有了比較大小的意義，變量的變化具有了方向性。因此相關(guān)系數(shù)也具有了方向性。如果兩個變量的變化方向一致則說明兩個變量是正相關(guān)，如果兩個變量的變化方向相反則說明兩個變量是負相關(guān)。等級相關(guān)系數(shù)的正負號表明的就是相關(guān)的方向。 二、Spearman(斯皮爾曼)等級相關(guān)系數(shù) （一）建構(gòu)斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計思想 根據(jù)個案在兩個變量上的等級差值的大小來測量相關(guān)度。 將兩個變量的兩組數(shù)據(jù)分別排序以后，每個個案在兩個變量上分別獲得了一個等級。 如果兩個變量有比較強的正相關(guān)，個案的兩個等級差就會比較小，所有個案的兩個等級差值的平方和也會比較小。反之，如果兩個變量有比較強的負相關(guān)，個案的兩個等級差就會比較大，所有個案的兩個等級差值的平方和也會比較大。 因此，個案的兩個等級差值的平方和可以用來測量兩個變量的等級相關(guān)。 （二）斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算 1、無相同等級時的斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算 設(shè)變量x與y均為有序類別變量，且不含有相同等級。也就是說在任何一個變量上不存在兩個個案取值相同的情況，每個個案占有一個等級。斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算公式為： 1、無相同等級時的斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算 【例3-5】表3-12是14名學生的數(shù)學成績與物理成績。計算學生的數(shù)學成績與物理成績的斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。 二、Spearman(斯皮爾曼)等級相關(guān)系數(shù) （二）斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算 2、有相同等級時的斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)的計算 如果在一個變量中兩個個案的取值相等，就會出現(xiàn)相同等級。在統(tǒng)計學中，相同等級也被稱為“結(jié)（Tie）”。 對于結(jié)，一般采用具有相同等級的個案所應占有的平均等級作為它們的共同等級，以保證個案數(shù)與等級數(shù)基本一致。 由于斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)要求沒有相同等級，因此當變量的取值不是很多，但個案數(shù)很多時，這個要求是難以滿足的。 當相同等級不太多時，也可以計算斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。（太多則應用Gamma等級相關(guān)系數(shù)） 【例3-6】 表3-13也是14名學生的數(shù)學成績與物理成績，但其中含有相同等級。計算學生的數(shù)學成績與物理成績的斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。（注意表中結(jié)的處理） 三、Gamma等級相關(guān)系數(shù) 數(shù)據(jù)中存在大量的相同等級時，可以用Gamma等級相關(guān)系數(shù)來描述兩個有序類別變量之間的相關(guān)程度。 Gamma等級相關(guān)系數(shù)是用同序?qū)εc異序?qū)Φ臄?shù)量差來測量兩個變量相關(guān)程度的。 （一）同序?qū)εc異序?qū)? 三、Gamma等級相關(guān)系數(shù) （一）同序?qū)εc異序?qū)? 三、Gamma等級相關(guān)系數(shù) （一）同序?qū)εc異序?qū)? 三、Gamma等級相關(guān)系數(shù) （二）Gamma等級相關(guān)系數(shù)的計算 1、公式：如果同序?qū)Χ喈愋驅(qū)ι�，則表明兩個變量之間有正相關(guān)；如果異序?qū)Χ嗤�序�(qū)ι�，則表明兩個變量之間有負相關(guān)。 四、Kendall’s Tau(肯德爾τ)系數(shù) Gamma等級相關(guān)系數(shù)只考慮同序?qū)εc異序?qū)Γ瑳]考慮同分對。這在同分對非常多的情況下會使計算出的相關(guān)系數(shù)偏大。統(tǒng)計學家肯德爾對此進行了修正，提出一系列等級相關(guān)的計算公式。此處僅介紹Kendall’s Tau-c（ ） 五、Somer’s d 系數(shù) Somer 也考慮了同分對，給了dyx和dxy相關(guān)系數(shù)，并將其均值作為兩個變量的等級相關(guān)系數(shù)。 參見教材習題3-1至3-5。 第四章　兩個尺度變量關(guān)系的描述統(tǒng)計 社會調(diào)查中涉及到的尺度變量有兩個特點，一是數(shù)據(jù)分布的全距大，二是變量的取值多。 如果制作列聯(lián)表會產(chǎn)生分布極其分散的巨型表格，無法表現(xiàn)出變量之間的關(guān)系特征。因此，尺度變量之間的關(guān)系不適宜用列聯(lián)表來描述。 一般來說，尺度變量之間的相關(guān)既可以用散點圖來形象地描述，也可以用相關(guān)系數(shù)來概括地描述。 如果變量之間存在因果關(guān)系，還可以用回歸方程來描述因變量隨自變量變化的狀況。 一、相關(guān)的概念 兩個尺度變量之間的相關(guān)關(guān)系，指的是兩個變量在變化過程中數(shù)量上的依存關(guān)系。 當一個變量變化時另一個變量也會出現(xiàn)相應的變化。這兩個變量之間就存在相關(guān)關(guān)系。 如果一個變量變大時另一個變量也隨之變大，或是一個變量變小時另一個變量也隨之變小，這兩個變量之間是正相關(guān)。 反之，當一個變量變大時另一個變量隨之變小，或是一個變量變小時另一個變量隨之變大，這兩個變量之間存在負相關(guān)。 如果兩個變量的變化不存在上述的依存性，則認為兩個變量無相關(guān)。 二、相關(guān)散點圖 （一）含義： 散點圖可以形象地描述兩個尺度變量的相關(guān)狀況和相關(guān)強度。設(shè)有兩個尺度變量x和y。以x為橫坐標，以y為縱坐標，根據(jù)任意個案x和y的取值，可以在坐標系里確定一個點。眾多個案在坐標系中呈現(xiàn)一種點狀分布，這樣的圖形就是散點圖。 （二）作用： 散點的分布狀態(tài)可以表明變量之間的相關(guān)性。 （三）例子 二、相關(guān)散點圖 三、Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù) 用散點圖來描述兩個尺度變量之間的相關(guān)雖然形象，但不精確。精確描述變量之間相關(guān)強度的特征值是皮爾遜相關(guān)系數(shù)。 （一）Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù)建構(gòu)的統(tǒng)計思想 設(shè)有兩個尺度變量x和y，散點圖見圖4-5。以x和y的均值為基礎(chǔ)的橫線，將圖劃分為四個區(qū)域。 三、Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù) （一）Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù)建構(gòu)的統(tǒng)計思想 （二）Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù)的計算 【例4-1】表4-1是10名學生的數(shù)學成績與物理成績，計算這兩科成績的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。 （二）Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù)的計算 【例4-2】表 4-2的數(shù)據(jù)是11個家庭的月收入x（千元）與住房面積y（平方米）。計算兩個變量的皮爾遜相關(guān)系數(shù)。 三、Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù) （一）Pearson(皮爾遜)相關(guān)系數(shù)建構(gòu)的統(tǒng)計思想 相關(guān)分析的結(jié)果只能說明兩個變量是否有關(guān)系，以及關(guān)系大小事多少。在此基礎(chǔ)上，可以借助回歸分析方法，進一步分析變量間的因果關(guān)系。 一、回歸分析的統(tǒng)計思想 設(shè)有兩個變量x與y，x為自變量，y為因變量。他們之間的關(guān)系可以分為確定性的關(guān)系與非確定性的關(guān)系。 確定性關(guān)系即一一對應關(guān)系。 非確定性的關(guān)系則是一種數(shù)量上的依存關(guān)系。表現(xiàn)為兩個變量相關(guān)，但并不一一對應。例如身高與體重的關(guān)系，身高越高體重越重的規(guī)律，指的是身高為的所有人的平均體重要低于身高為的所有人的平均體重。 非確定性的關(guān)系也可以采用函數(shù)的方法來描述，但估計時有誤差。如果能明確誤差大小，就可以用確定性的方法來研究非確定性的變量關(guān)系，這就是回歸分析的基本出發(fā)點。 回歸分析是對變量的一組觀察值擬合一個函數(shù)，將非確定性關(guān)系轉(zhuǎn)化為確定性關(guān)系。由于變量間關(guān)系特征不同，擬合函數(shù)也不同。 二、線性回歸 （一）線性回歸方程的建立 回歸分析最簡單的方法是對一組觀察值擬合一條直線。該方法叫線性回歸分析，也稱為線性回歸分析。擬合直線叫回歸直線，也稱回歸方程�；貧w方程中自變量的系數(shù)能夠說明當自變量變化一個單位時因變量隨之發(fā)生了何種變化。如圖4-6中的直線即是對12個個案的觀察值擬合的回歸直線。 二、線性回歸 （一）線性回歸方程的建立 線性回歸方程的一般表達式為： （一）線性回歸方程的建立 【例4-3】 對【例4-2】，求解以住房面積為因變量，家庭月收入為自變量的回歸方程。 參見教材習題4-1至4-5。 第五章　類別變量與尺度變量關(guān)系的描述統(tǒng)計 在社會學研究中經(jīng)常要分析類別變量與尺度變量之間的關(guān)系。如收入與學歷是否相關(guān)，初婚年齡與地區(qū)是否相關(guān)等等。 如果類別變量與尺度變量之間的關(guān)系是因果關(guān)系，在這樣的分析中，類別變量是自變量，尺度變量是因變量。 也把自變量稱為影響因素變量，自變量的不同取值稱為影響因素的不同水平。 這種變量間的關(guān)系也可用統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖和統(tǒng)計特征值描述。 一、平均值比較分析的統(tǒng)計思想 類別變量與尺度變量間的差異在于類別變量取值較少，而尺度變量則有很多取值，有些尺度變量的取值范圍還很大。 類別變量與尺度變量之間關(guān)系的分析方法是，比較在自變量取不同水平時，因變量的平均值是否有差異。 如果當自變量取不同值時，因變量的平均值有較大差異，則認為自變量與因變量有相關(guān)。反之，則無關(guān)。 設(shè)x為類別變量，有 共個m取值。y為尺度變量。 先按照類別變量將數(shù)據(jù)分為m類，然后計算每個類別y的平均值，可得 對這些平均值進行比較，如果差異很大，則認為x和y相關(guān)。如果這些平均值都相等，或者僅有微小差異，則認為不相關(guān)。 【例5-1】 某班級進行一次外語水平考試，不同性別的學生得分如表5-1所示。問這個班學生的外語成績與性別是否相關(guān)？ 二、統(tǒng)計表、條形圖與線形圖 （一）統(tǒng)計表 類別變量與尺度變量之間的關(guān)系可以用統(tǒng)計表進行描述。 （二）條形圖與線形圖 1、條形圖 類別變量與尺度變量間的關(guān)系也可用統(tǒng)計圖鮮明地表現(xiàn)出來。用類別變量的每個取值代表一個條，用條的高度代表屬于該類別的所有個案在所研究的尺度變量上的平均值。 （二）條形圖與線形圖 2、線形圖 將圖（5-1）中條形頂端的中點用折線相連，就可以繪出兩個變量關(guān)系的線形圖。如圖（5-2）所示。 一、相關(guān)比率建構(gòu)的統(tǒng)計思想 對于不同類別的平均值進行比較，只能粗略地說明類別變量與尺度變量之間是否有相關(guān)。要想精確地說明兩個變量的相關(guān)程度還要用相關(guān)系數(shù)來描述。 類別變量與尺度變量之間的相關(guān)系數(shù)被稱為相關(guān)比率，用eta來表示。相關(guān)比率也是基于消減誤差比率的思想建構(gòu)的。 假設(shè)已知變量y的平均值，要猜測每個個體y變量的值，只能將每個個體的值都猜測為平均值。這時產(chǎn)生的總誤差平方和為： 一、相關(guān)比率建構(gòu)的統(tǒng)計思想 如果知道y與另一個類別變量x相關(guān)，且x有m個取值，每個類別的個案數(shù)分別為 在的每個類別上的均值分別為 這時再猜測每個個體y變量的值時要看它屬于x的哪個類別，并用這個類別的y的均值 來猜測它，此時的總誤差平方和為： 二、相關(guān)比率的計算 【例5-2】在某城市隨機抽取45位居民。其文化程度與住房面積的分布如表5-3所示。計算文化程度與住房面積的相關(guān)比率。 二、相關(guān)比率的計算 【例5-2】在某城市隨機抽取45位居民。其文化程度與住房面積的分布如表5-3所示。計算文化程度與住房面積的相關(guān)比率。 解：先求不同文化程度的居民的平均住房面積，再求所有居民的平均住房面積，最后代入相關(guān)比率的公式即得。 二、相關(guān)比率的計算 【例5-2】在某城市隨機抽取45位居民。其文化程度與住房面積的分布如表5-3所示。計算文化程度與住房面積的相關(guān)比率。 解：先求不同文化程度的居民的平均住房面積，再求所有居民的平均住房面積，最后代入相關(guān)比率的公式即得。 參見教材習題5-1至5-4。yCF紅軟基地

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