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浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。 第一章 概率論的基本概念 1.1 隨機(jī)試驗(yàn) 1.2 樣本空間 1.3 概率和頻率 1.4 等可能概型（古典概型） 1.5 條件概率 1.6 獨(dú)立性 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.1 隨機(jī)變量 2.2 離散型隨機(jī)變量及其分布 2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù) 2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 2.5 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 3.1 二維隨機(jī)變量 3.2 邊緣分布 3.3 條件分布 3.4 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 3.5 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 4.1 數(shù)學(xué)期望 4.2 方差 4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 4.4 矩、協(xié)方差矩陣 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 6.1 總體和樣本 6.2 常用的分布 第七章 參數(shù)估計(jì) 7.1 參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 7.2 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 7.3 區(qū)間估計(jì) 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 8.1 假設(shè)檢驗(yàn) 8.2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn) 8.3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn) 8.4 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)之間的關(guān)系 8.5 樣本容量的選取 8.6 分布擬合檢驗(yàn) 8.7 秩和檢驗(yàn) 第九章 方差分析及回歸分析 9.1 單因素試驗(yàn)的方差分析 9.2 雙因素試驗(yàn)的方差分析 9.3 一元線性回歸 9.4 多元線性回歸 第十章 隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述 10.1 隨機(jī)過(guò)程的概念 10.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 10.3 泊松過(guò)程及維納過(guò)程 第十一章 馬爾可夫鏈 11.1 馬爾可夫過(guò)程及其概率分布 11.2 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 11.3 遍歷性 第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 12.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念 12.2 各態(tài)歷經(jīng)性 12.3 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 12.4 平穩(wěn)過(guò)程的功率譜密度 概 率 論 第一章 概率論的基本概念 關(guān)鍵詞： 樣本空間 隨機(jī)事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨(dú)立性 §1 隨機(jī)試驗(yàn) 確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定 不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定 概率統(tǒng)計(jì)中研究的對(duì)象：隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。 它具有以下特性： 可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 進(jìn)行試驗(yàn)前并不知道哪個(gè)試驗(yàn)結(jié)果會(huì)發(fā)生 §2 樣本空間·隨機(jī)事件 (一)樣本空間 定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的 樣本空間，記為S={e}， 稱S中的元素e為基本事件或樣本點(diǎn)． (二) 隨機(jī)事件 一般我們稱S的子集A為E的隨機(jī)事件A，當(dāng)且僅當(dāng)A所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生稱事件A發(fā)生。 (三) 事件的關(guān)系及運(yùn)算 事件的關(guān)系（包含、相等） 例： 記A={明天天晴}，B={明天無(wú)雨} 記A={至少有10人候車}，B={至少有5人候車} 一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面} 事件的運(yùn)算 “和”、“交”關(guān)系式 §3 頻率與概率 (一)頻率 定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n—總試驗(yàn)次 數(shù)。稱 為A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率。 例： 中國(guó)國(guó)家足球隊(duì)，“沖擊亞洲”共進(jìn)行了n次，其中成功了一次，則在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 某人一共聽(tīng)了17次“概率統(tǒng)計(jì)”課，其中有15次遲到，記 A={聽(tīng)課遲到}，則 # 頻率 反映了事件A發(fā)生的頻繁程度。 ** 頻率的性質(zhì)： 且 隨n的增大漸趨穩(wěn)定，記穩(wěn)定值為p． (二) 概率 定義1： 的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p 定義2：將概率視為測(cè)度，且滿足： 稱P(A)為事件A的概率。 §4 等可能概型（古典概型） 定義：若試驗(yàn)E滿足： S中樣本點(diǎn)有限(有限性) 出現(xiàn)每一樣本點(diǎn)的概率相等(等可能性) 例1：一袋中有8個(gè)球，編號(hào)為1－8，其中1－3 號(hào)為紅球，4－8號(hào)為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機(jī)摸一球， 記A={ 摸到紅球 }，求P(A)． 例2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記A={恰是一紅一黃}，求P(A)． 解： 例4：將n個(gè)不同的球，投入N個(gè)不同的盒中(n≤N)，設(shè)每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記A＝{ 恰有n個(gè)盒子各有一球 }，求P(A)． 解： 例5：一單位有5個(gè)員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨(dú)立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有2人在同一天休息的 概率。 解：將5為員工看成5個(gè)不同的球， 7天看成7個(gè)不同的盒子， 記A={ 無(wú)2人在同一天休息 }， 則由上例知： 例6: (抽簽問(wèn)題)一袋中有a個(gè)紅球，b個(gè)白球，記a＋b＝n． 設(shè)每次摸到各球的概率相等，每次從袋中摸一球， 不放回地摸n次。 設(shè) { 第k次摸到紅球 }，k＝1，2，…，n．求 解1： 解3： 將第k次摸到的球號(hào)作為一樣本點(diǎn)： 解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，而各來(lái)訪者在一周 的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來(lái) 訪者都是在周二、周四的概率為 212/712 =0.000 000 3. §5 條件概率 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為90%，合格品中有95%為 優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件， 記A={取到一件合格品}， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品}。 則 P(A)=90% 而P(B)=85.5% 記：P(B|A)=95% P(A)=0.90 是將整批產(chǎn)品記作1時(shí)A的測(cè)度 P(B|A)=0.95 是將合格品記作1時(shí)B的測(cè)度 由P(B|A)的意義，其實(shí)可將P(A)記為P(A|S)，而這里的S常常省略而已，P(A)也可視為條件概率 分析： 一、條件概率 定義： 由上面討論知，P(B|A)應(yīng)具有概率的所有性質(zhì)。 例如： 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為70%，余下 的30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有80% 的產(chǎn)品可以出廠，20%的產(chǎn)品要報(bào)廢。求該廠產(chǎn) 品的報(bào)廢率。 例：某行業(yè)進(jìn)行專業(yè)勞動(dòng)技能考核，一個(gè)月安排一次，每人 最多參加3次；某人第一次參加能通過(guò)的概率為60%；如 果第一次未通過(guò)就去參加第二次，這時(shí)能通過(guò)的概率為 80%；如果第二次再未通過(guò)，則去參加第三次，此時(shí)能通 過(guò)的概率為90%。求這人能通過(guò)考核的概率。 例：從52張牌中任取2張，采用(1)放回抽樣，（2）不放 回抽樣，求恰是“一紅一黑”的概率。 三、全概率公式與Bayes公式 定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，…，Bn 為E的一組事件。若： 則稱B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，或稱為一組完備事件組。 定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件。B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，P(Bi)>0，i=1，2，…，n； 則稱： * 全概率公式可由以下框圖表示： 設(shè) P(Bj)=pj， P(A|Bj)=qj， j=1，2，…，n 易知： 例：一單位有甲、乙兩人，已知甲近期出差的概率為80%， 若甲出差，則乙出差的概率為20%；若甲不出差， 則乙出差的概率為90%。(1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。 例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5% 的假陽(yáng)性及5%的假陰性：若設(shè)A={試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性}， C={被診斷患有癌癥} 則有： 已知某一群體 P(C)=0.005，問(wèn)這種方法能否用于普查？ §6 獨(dú)立性 例：有10件產(chǎn)品，其中8件為正品，2件為次品。從中取2 次，每次取1件，設(shè)Ai={第i次取到正品}，i=1，2 注意： 例：甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，甲擊中 率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標(biāo)被 擊中的概率。 例：有4個(gè)獨(dú)立元件構(gòu)成的系統(tǒng)(如圖)，設(shè)每個(gè)元 件能正常運(yùn)行的概率為p，求系統(tǒng)正常運(yùn)行的 概率。 總結(jié)： 復(fù)習(xí)思考題 1 1.“事件A不發(fā)生，則A=Ф”，對(duì)嗎？試舉例證明之。 2. “兩事件A和B為互不相容，即AB=Ф，則A和B互逆”，對(duì)嗎？  反之成立嗎？試舉例說(shuō)明之。 4. 甲、乙兩人同時(shí)猜一謎，設(shè)A={甲猜中}，B={乙猜中}， 則A∪B={甲、乙兩人至少有1人猜中}。若P(A)=0.7，P(B)=0.8， 則“P(A∪B)=0.7+0.8=1.5”對(duì)嗎？ 5. 滿足什么條件的試驗(yàn)問(wèn)題稱為古典概型問(wèn)題？ 7.如何理解樣本點(diǎn)是兩兩互不相容的？ 8.設(shè)A和B為兩隨機(jī)事件，試舉例說(shuō)明P(AB)=P(B|A)表示不同的意義。 10.什么條件下稱兩事件A和B相互獨(dú)立？ 什么條件下稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立？ 11.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)≠0，P(B)≠0，問(wèn)A和B相互獨(dú)立、A和B互不相容能否同時(shí)成立？試舉例說(shuō)明之。 12.設(shè)A和B為兩事件，且P(A)=a，P(B)=b，問(wèn)： (1) 當(dāng)A和B獨(dú)立時(shí)，P(A∪B)為何值？ (2) 當(dāng)A和B互不相容時(shí)， P(A∪B)為何值？ 13.當(dāng)滿足什么條件時(shí)稱事件組A1，A2，…，An為樣為本空間 的一個(gè)劃分？ 14.設(shè)A，B，C為三隨機(jī)事件，當(dāng)A≠B，且P(A)≠0， P(B)≠0時(shí)， P(C|A)+P(C|B)有意義嗎？試舉例說(shuō)明。 15.設(shè)A，B，C為三隨機(jī)事件，且P(C)≠0， 問(wèn)P(A∪B|C)=P(A|C)+P(B|C)－P(AB|C)是否成立？ 若成立，與概率的加法公式比較之。 第二章 隨機(jī)變量及其分布 關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 概率分布函數(shù) 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的函數(shù) §1 隨機(jī)變量 * 常見(jiàn)的兩類試驗(yàn)結(jié)果： §2 離散型隨機(jī)變量及其分布 定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為離散量 離散量的概率分布(分布律) 例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為p，0ich紅軟基地

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