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  高等代數(shù)（I） Advanced Linear AlgebraGRB紅軟基地
主講教師: 高 峽 理科樓1478S   gao_m_xia@yahoo.com.cnGRB紅軟基地
助教: 鄧劍  王威楊GRB紅軟基地
大課         周三  3，4 節(jié)     理教 105GRB紅軟基地
                   周五  1，2 節(jié)     理教 105GRB紅軟基地
習題課           周三  9，10 節(jié) GRB紅軟基地
                   文史 201      三教 101GRB紅軟基地
課件下載:GRB紅軟基地
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                  linearalg9               linearalg9GRB紅軟基地
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期末考試GRB紅軟基地
              2010 年 1 月 8 日GRB紅軟基地
              (周五) 下午 2:00GRB紅軟基地
             三教 503  505  507GRB紅軟基地
 作業(yè)：GRB紅軟基地
§5.7    1 (1) (3)，  2，  4，  7;GRB紅軟基地
§6.1    2，  3 (1) (3)，  7，  8，  11GRB紅軟基地
§6.3    4，  6(1)(2)，  7(2)，  14GRB紅軟基地
注：§5.7  1  要求計算二次型 XTA X 在GRB紅軟基地
  單位球面上的最大， 最小值，  在何處取到 ?GRB紅軟基地
§6.1  8  要求寫出二次型的規(guī)范型， 慣性指數(shù).GRB紅軟基地
第六章 二次型GRB紅軟基地
     1   二次型與它的標準型GRB紅軟基地
    2   實二次型與它的規(guī)范型GRB紅軟基地
    3   正定二次型與正定矩陣GRB紅軟基地
用矩陣表示函數(shù)GRB紅軟基地
二次齊次多項式 ( 二次型 ) :GRB紅軟基地
三次齊次多項式 ( 三次型 ) :GRB紅軟基地
三元二次型 :GRB紅軟基地
三元二次型 :GRB紅軟基地
三元二次型 :GRB紅軟基地
三元二次型 :GRB紅軟基地
三元二次型 :GRB紅軟基地
每個 n 元二次型  f  都可以唯一地寫成GRB紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA XGRB紅軟基地
每個 n 元二次型  f  都可以唯一地寫成GRB紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA XGRB紅軟基地
的形式，   A 是對稱矩陣，  X 變元列向量.GRB紅軟基地
只需將平方項系數(shù)依次寫在主對角線上，GRB紅軟基地
交叉項系數(shù)對分后對稱地寫在矩陣相應GRB紅軟基地
位置上.GRB紅軟基地
每個 n 元二次型  f  都可以唯一地寫成GRB紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA XGRB紅軟基地
的形式，   A 是對稱矩陣，  X 變元列向量.GRB紅軟基地
對稱矩陣 A 稱為二次型的矩陣.GRB紅軟基地
                           一一對應GRB紅軟基地
           二次型  f           對稱矩陣 AGRB紅軟基地
對 n 元二次型， GRB紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) =  XT  A  X GRB紅軟基地
我們常做的操作是變量的非退化線性替換， GRB紅軟基地
簡稱變量替換:  GRB紅軟基地
           X = C Y ，  C 是 n 階可逆矩陣，  GRB紅軟基地
                  新變量 Y = C -1 XGRB紅軟基地
將 X = C Y 代入 n 元二次型，GRB紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) =  XT  A  X GRB紅軟基地
            =  ( C Y )T A ( C Y ) GRB紅軟基地
            =  YT   CT A C   YGRB紅軟基地
將 X = C Y 代入 n 元二次型，GRB紅軟基地
              f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) =  XT  A  X GRB紅軟基地
            =  ( C Y )T A ( C Y ) GRB紅軟基地
            =  YT   CT A C   Y GRB紅軟基地
   得到 Y 的二次型  g = YT  B Y ， 其對稱矩陣GRB紅軟基地
   是 B = CT A C .GRB紅軟基地
二次型的等價與矩陣的合同GRB紅軟基地
如果存在變量替換 X = C Y， 將二次型 GRB紅軟基地
  f  = XTA X 變?yōu)?g = YT B Y ，  則稱GRB紅軟基地
   二次型 f  與 g 等價.GRB紅軟基地
如果存在可逆矩陣 C ， 使得  B = CTA CGRB紅軟基地
   則稱矩陣 A 與 B 合同.GRB紅軟基地
二次型 f  = XTA X  與  g = YTB Y 等價GRB紅軟基地
           f 、g 的對稱矩陣 A 與 B 合同.GRB紅軟基地
二次型的等價滿足反身性， 對稱性， 傳遞性， GRB紅軟基地
   是全體二次型上的等價關系 .GRB紅軟基地
類似的， 合同關系也是全體 n 階矩陣上的GRB紅軟基地
    等價關系.GRB紅軟基地
對稱矩陣的合同分類問題GRB紅軟基地
  全體 n 階對稱矩陣在合同分類下被劃分成GRB紅軟基地
一個個等價類 .GRB紅軟基地
在每一合同類中選一個 ‘好’ 的 ‘ 標準 ’的GRB紅軟基地
   對稱矩陣 ( 合同標準型 ) 作為這個類的代表 ;GRB紅軟基地
合同標準型的計算 ;GRB紅軟基地
判斷兩個對稱矩陣是否合同.GRB紅軟基地
二次型的標準型GRB紅軟基地
定理 : 若  f  =  XTA X 是數(shù)域 K 上的二次型GRB紅軟基地
     則存在 K 上可逆矩陣 C 及變量替換 GRB紅軟基地
     X = C Y， 使得二次型GRB紅軟基地
                      g =   YT ( CTA C ) Y GRB紅軟基地
    只含平方項，  這樣的二次型 g 稱為 f  的GRB紅軟基地
    標準型.GRB紅軟基地
對稱矩陣的合同標準型GRB紅軟基地
  定理:  若 A 是數(shù)域 K上的對稱矩陣，  GRB紅軟基地
    則存在 K 上的可逆矩陣 C ， 使得GRB紅軟基地
                                CT A CGRB紅軟基地
   是對角矩陣.  ( 稱為 A 的合同標準型)GRB紅軟基地
注:  對稱矩陣(二次型)的標準型不唯一.GRB紅軟基地
    但標準型對角線上非零元 (平方項非GRB紅軟基地
    零系數(shù))個數(shù)唯一， 等于對稱矩陣的秩.GRB紅軟基地
化標準型的三種方式:GRB紅軟基地
實對稱矩陣正交對角化 ( 正交替換 ) ;GRB紅軟基地
若 C 是正交矩陣，  變量替換 X = C Y GRB紅軟基地
   稱為正交替換 ，  此時 Y = CT XGRB紅軟基地
例: 求正交替換 X = Q Y 將二次型 f 化標準型GRB紅軟基地
例:  二次曲面 S 在 X-坐標下的方程為GRB紅軟基地
這是一個什么曲面? 橢球面?拋物面?GRB紅軟基地
  還是雙曲面?GRB紅軟基地
思路：做直角坐標變換GRB紅軟基地
做正交替換 X = Q Y 相當于取新的直角GRB紅軟基地
   坐標系;GRB紅軟基地
例: 二次曲面 S 在 X-坐標下方程為GRB紅軟基地
正交替換應用最廣泛GRB紅軟基地
做正交替換 X = C Y 相當于取新的直角GRB紅軟基地
    坐標系;GRB紅軟基地
做正交替換 X = C Y 計算二次型在單位GRB紅軟基地
   球面上的最大最小值;GRB紅軟基地
主成分分析， 矩陣 SVD 分解 …GRB紅軟基地
化標準型的三種方式:GRB紅軟基地
實對稱矩陣正交對角化 ( 正交替換 ) ;GRB紅軟基地
配方法;GRB紅軟基地
例2:   用配方法化二次型為標準型GRB紅軟基地
通過以上兩個例子，我們看到GRB紅軟基地
   定理 :    若  f  =  XTA X 是數(shù)域 K 上的 GRB紅軟基地
    n 元二次型，  則存在 K 上的可逆矩陣 C GRB紅軟基地
   及變量替換 X = C Y，  使得二次型GRB紅軟基地
        g =  ( CY )T A ( CY ) = YT ( CTA C ) Y GRB紅軟基地
   只含平方項，  這樣的二次型 g 稱為 f  的GRB紅軟基地
   標準型.GRB紅軟基地
化標準型的三種方式:GRB紅軟基地
正交替換;GRB紅軟基地
配方法;GRB紅軟基地
成對的初等行、列變換 .GRB紅軟基地
成對的初等行、列變換化標準型GRB紅軟基地
給定對稱矩陣 A ， 求可逆矩陣 P ，GRB紅軟基地
             使得 PTA P 是對角矩陣 .GRB紅軟基地
可逆矩陣都是初等矩陣的乘積GRB紅軟基地
                    P = P1 P2   PsGRB紅軟基地
   PTA P  =  PsT  P2T  P1TA P1  P2   PsGRB紅軟基地
成對的初等行、列變換化標準型GRB紅軟基地
怎樣求可逆矩陣 P ，GRB紅軟基地
        使得 PTA P 是對角矩陣 ?GRB紅軟基地
                       P   =   P1 P2   PsGRB紅軟基地
        PsT  P2T  P1T  A  P1  P2   PsGRB紅軟基地
                       P   =   I   P1  P2   PsGRB紅軟基地
先做行變換， 再做對稱的列變換， 會簡單些GRB紅軟基地
由結合律，幾個行變換可一起做GRB紅軟基地
用線性代數(shù)研究函數(shù)GRB紅軟基地
對 n 元二次型， 我們有一套成熟的理論.GRB紅軟基地
   通過變量替換可以將其變?yōu)闃藴市问?，GRB紅軟基地
   由此判斷其非負性， 在單位球面上的最大，GRB紅軟基地
   最小值…GRB紅軟基地
對大于二次的齊次多項式， 沒有這樣一套理論.GRB紅軟基地
第六章 二次型GRB紅軟基地
     1   二次型與它的標準型GRB紅軟基地
    2   實二次型與它的規(guī)范型GRB紅軟基地
    3   正定二次型與正定矩陣GRB紅軟基地
問題：GRB紅軟基地
  對 f 做不同的變量替換，得到的規(guī)范型GRB紅軟基地
 （正負慣性指數(shù)）總是一樣的嗎？GRB紅軟基地
QuizGRB紅軟基地
全體 2 階實對稱矩陣在合同關系下分成GRB紅軟基地
   幾類?GRB紅軟基地
第六章 二次型GRB紅軟基地
     1   二次型與它的標準型GRB紅軟基地
    2   實二次型與它的規(guī)范型GRB紅軟基地
    3   正定二次型與正定矩陣GRB紅軟基地
引理：等價的實二次型有相同的正定性GRB紅軟基地
證:  設實二次型  XTA X  與  YTB Y 等價， GRB紅軟基地
  即存在可逆矩陣 C ，  使得  B = CTA C .GRB紅軟基地
 若 XTA X 正定，   即     0 ，    TA  > 0 . GRB紅軟基地
 則    0 ， 有 C   0 且GRB紅軟基地
   T B    =  T  CTAC    =  ( C )T  A  C > 0 . GRB紅軟基地
                        YTB Y 也正定.GRB紅軟基地
等價的實二次型有相同的正定性GRB紅軟基地
定理： n 元實二次型  f = XTA X 正定 GRB紅軟基地
                        f 的正慣性指數(shù) = nGRB紅軟基地
證:  實二次型 f 的正定性與它的規(guī)范型一致，而規(guī)范型正定當且僅當正慣性指數(shù) = n .GRB紅軟基地
等價的實二次型有相同的正定性GRB紅軟基地
定理： n 元實二次型  f = XTA X 正定 GRB紅軟基地
                        f 的正慣性指數(shù) = n .GRB紅軟基地
等價的實二次型有相同的正定性GRB紅軟基地
定理： n 元實二次型  f = XTA X 正定 GRB紅軟基地
                        f 的正慣性指數(shù) = n .GRB紅軟基地
用順序主子式判定矩陣正定性.GRB紅軟基地
例：設 1  2    n 是實對稱矩陣 A 的GRB紅軟基地
       特征值，判斷 A -  I 的正定性 .GRB紅軟基地
當  <  n 時 ， A -  I 的正定；GRB紅軟基地
 當  >  1 時 ， A -  I 的負定；GRB紅軟基地
  ...  ...GRB紅軟基地
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