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這是如何求合同矩陣ppt，包括了二次型與它的標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)二次型與它的規(guī)范型，正定二次型與正定矩陣等內(nèi)容，歡迎點(diǎn)擊下載。
如何求合同矩陣ppt是由紅軟PPT免費(fèi)下載網(wǎng)推薦的一款課件PPT類型的PowerPoint.
高等代數(shù)（I） Advanced Linear Algebra
主講教師: 高 峽 理科樓1478S gao_m_xia@yahoo.com.cn
助教: 鄧劍 王威楊
大課 周三 3，4 節(jié) 理教 105
周五 1，2 節(jié) 理教 105
習(xí)題課 周三 9，10 節(jié)
文史 201 三教 101
課件下載:
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用戶名：linearalg1 密碼： linearalg1
linearalg2 linearalg2
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期末考試
2010 年 1 月 8 日
(周五) 下午 2:00
三教 503 505 507
作業(yè)：
§5.7 1 (1) (3)， 2， 4， 7;
§6.1 2， 3 (1) (3)， 7， 8， 11
§6.3 4， 6(1)(2)， 7(2)， 14
注：§5.7 1 要求計(jì)算二次型 XTA X 在
單位球面上的最大， 最小值， 在何處取到 ?
§6.1 8 要求寫出二次型的規(guī)范型， 慣性指數(shù).
第六章 二次型
1 二次型與它的標(biāo)準(zhǔn)型
2 實(shí)二次型與它的規(guī)范型
3 正定二次型與正定矩陣
用矩陣表示函數(shù)
二次齊次多項(xiàng)式 ( 二次型 ) :
三次齊次多項(xiàng)式 ( 三次型 ) :
三元二次型 :
三元二次型 :
三元二次型 :
三元二次型 :
三元二次型 :
每個(gè) n 元二次型 f 都可以唯一地寫成
f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA X
每個(gè) n 元二次型 f 都可以唯一地寫成
f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA X
的形式， A 是對(duì)稱矩陣， X 變?cè)邢蛄?
只需將平方項(xiàng)系數(shù)依次寫在主對(duì)角線上，
交叉項(xiàng)系數(shù)對(duì)分后對(duì)稱地寫在矩陣相應(yīng)
位置上.
每個(gè) n 元二次型 f 都可以唯一地寫成
f ( x1 ， x2 ，…， xn ) = XTA X
的形式， A 是對(duì)稱矩陣， X 變?cè)邢蛄?
對(duì)稱矩陣 A 稱為二次型的矩陣.
一一對(duì)應(yīng)
二次型 f 對(duì)稱矩陣 A
對(duì) n 元二次型，
f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) = XT A X
我們常做的操作是變量的非退化線性替換，
簡(jiǎn)稱變量替換:
X = C Y ， C 是 n 階可逆矩陣，
新變量 Y = C -1 X
將 X = C Y 代入 n 元二次型，
f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) = XT A X
= ( C Y )T A ( C Y )
= YT CT A C Y
將 X = C Y 代入 n 元二次型，
f ( x1 ， x2 ， … ， xn ) = XT A X
= ( C Y )T A ( C Y )
= YT CT A C Y
得到 Y 的二次型 g = YT B Y ， 其對(duì)稱矩陣
是 B = CT A C .
二次型的等價(jià)與矩陣的合同
如果存在變量替換 X = C Y， 將二次型
f = XTA X 變?yōu)?g = YT B Y ， 則稱
二次型 f 與 g 等價(jià).
如果存在可逆矩陣 C ， 使得 B = CTA C
則稱矩陣 A 與 B 合同.
二次型 f = XTA X 與 g = YTB Y 等價(jià)
f 、g 的對(duì)稱矩陣 A 與 B 合同.
二次型的等價(jià)滿足反身性， 對(duì)稱性， 傳遞性，
是全體二次型上的等價(jià)關(guān)系 .
類似的， 合同關(guān)系也是全體 n 階矩陣上的
等價(jià)關(guān)系.
對(duì)稱矩陣的合同分類問(wèn)題
全體 n 階對(duì)稱矩陣在合同分類下被劃分成
一個(gè)個(gè)等價(jià)類 .
在每一合同類中選一個(gè) ‘好’ 的 ‘ 標(biāo)準(zhǔn) ’的
對(duì)稱矩陣 ( 合同標(biāo)準(zhǔn)型 ) 作為這個(gè)類的代表 ;
合同標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算 ;
判斷兩個(gè)對(duì)稱矩陣是否合同.
二次型的標(biāo)準(zhǔn)型
定理 : 若 f = XTA X 是數(shù)域 K 上的二次型
則存在 K 上可逆矩陣 C 及變量替換
X = C Y， 使得二次型
g = YT ( CTA C ) Y
只含平方項(xiàng)， 這樣的二次型 g 稱為 f 的
標(biāo)準(zhǔn)型.
對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)型
定理: 若 A 是數(shù)域 K上的對(duì)稱矩陣，
則存在 K 上的可逆矩陣 C ， 使得
CT A C
是對(duì)角矩陣. ( 稱為 A 的合同標(biāo)準(zhǔn)型)
注: 對(duì)稱矩陣(二次型)的標(biāo)準(zhǔn)型不唯一.
但標(biāo)準(zhǔn)型對(duì)角線上非零元 (平方項(xiàng)非
零系數(shù))個(gè)數(shù)唯一， 等于對(duì)稱矩陣的秩.
化標(biāo)準(zhǔn)型的三種方式:
實(shí)對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化 ( 正交替換 ) ;
若 C 是正交矩陣， 變量替換 X = C Y
稱為正交替換 ， 此時(shí) Y = CT X
例: 求正交替換 X = Q Y 將二次型 f 化標(biāo)準(zhǔn)型
例: 二次曲面 S 在 X-坐標(biāo)下的方程為
這是一個(gè)什么曲面? 橢球面?拋物面?
還是雙曲面?
思路：做直角坐標(biāo)變換
做正交替換 X = Q Y 相當(dāng)于取新的直角
坐標(biāo)系;
例: 二次曲面 S 在 X-坐標(biāo)下方程為
正交替換應(yīng)用最廣泛
做正交替換 X = C Y 相當(dāng)于取新的直角
坐標(biāo)系;
做正交替換 X = C Y 計(jì)算二次型在單位
球面上的最大最小值;
主成分分析， 矩陣 SVD 分解 …
化標(biāo)準(zhǔn)型的三種方式:
實(shí)對(duì)稱矩陣正交對(duì)角化 ( 正交替換 ) ;
配方法;
例2: 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型
通過(guò)以上兩個(gè)例子，我們看到
定理 : 若 f = XTA X 是數(shù)域 K 上的
n 元二次型， 則存在 K 上的可逆矩陣 C
及變量替換 X = C Y， 使得二次型
g = ( CY )T A ( CY ) = YT ( CTA C ) Y
只含平方項(xiàng)， 這樣的二次型 g 稱為 f 的
標(biāo)準(zhǔn)型.
化標(biāo)準(zhǔn)型的三種方式:
正交替換;
配方法;
成對(duì)的初等行、列變換 .
成對(duì)的初等行、列變換化標(biāo)準(zhǔn)型
給定對(duì)稱矩陣 A ， 求可逆矩陣 P ，
使得 PTA P 是對(duì)角矩陣 .
可逆矩陣都是初等矩陣的乘積
P = P1 P2 Ps
PTA P = PsT P2T P1TA P1 P2 Ps
成對(duì)的初等行、列變換化標(biāo)準(zhǔn)型
怎樣求可逆矩陣 P ，
使得 PTA P 是對(duì)角矩陣 ?
P = P1 P2 Ps
PsT P2T P1T A P1 P2 Ps
P = I P1 P2 Ps
先做行變換， 再做對(duì)稱的列變換， 會(huì)簡(jiǎn)單些
由結(jié)合律，幾個(gè)行變換可一起做
用線性代數(shù)研究函數(shù)
對(duì) n 元二次型， 我們有一套成熟的理論.
通過(guò)變量替換可以將其變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式 ，
由此判斷其非負(fù)性， 在單位球面上的最大，
最小值…
對(duì)大于二次的齊次多項(xiàng)式， 沒(méi)有這樣一套理論.
第六章 二次型
1 二次型與它的標(biāo)準(zhǔn)型
2 實(shí)二次型與它的規(guī)范型
3 正定二次型與正定矩陣
問(wèn)題：
對(duì) f 做不同的變量替換，得到的規(guī)范型
（正負(fù)慣性指數(shù)）總是一樣的嗎？
Quiz
全體 2 階實(shí)對(duì)稱矩陣在合同關(guān)系下分成
幾類?
第六章 二次型
1 二次型與它的標(biāo)準(zhǔn)型
2 實(shí)二次型與它的規(guī)范型
3 正定二次型與正定矩陣
引理：等價(jià)的實(shí)二次型有相同的正定性
證: 設(shè)實(shí)二次型 XTA X 與 YTB Y 等價(jià)，
即存在可逆矩陣 C ， 使得 B = CTA C .
若 XTA X 正定， 即 0 ， TA > 0 .
則 0 ， 有 C 0 且
T B = T CTAC = ( C )T A C > 0 .
YTB Y 也正定.
等價(jià)的實(shí)二次型有相同的正定性
定理： n 元實(shí)二次型 f = XTA X 正定
f 的正慣性指數(shù) = n
證: 實(shí)二次型 f 的正定性與它的規(guī)范型一致，而規(guī)范型正定當(dāng)且僅當(dāng)正慣性指數(shù) = n .
等價(jià)的實(shí)二次型有相同的正定性
定理： n 元實(shí)二次型 f = XTA X 正定
f 的正慣性指數(shù) = n .
等價(jià)的實(shí)二次型有相同的正定性
定理： n 元實(shí)二次型 f = XTA X 正定
f 的正慣性指數(shù) = n .
用順序主子式判定矩陣正定性.
例：設(shè) 1 2 n 是實(shí)對(duì)稱矩陣 A 的
特征值，判斷 A - I 的正定性 .
當(dāng) < n 時(shí) ， A - I 的正定；
當(dāng) > 1 時(shí) ， A - I 的負(fù)定；
... ...
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